Ora 31 - Distanța dintre două puncte

TEORIE - 45 minute

Ce vei învăța astăzi?

Vom aplica cunoștințele din matematică pentru a calcula distanța, perimetrul, aria (Heron) și verificarea coliniarității — totul tradus pas cu pas din formulă matematică în cod C++.

Formula distanței → sqrt() în C++

Perimetrul = suma laturilor → P = a + b + c

Formula lui Heron → sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

Coliniaritate: aria ≈ 0 → aria < 0.001

Dicționar: Matematică ↔ C++

Înainte de orice formulă, învață cum se „traduce" fiecare simbol matematic în C++:

Simbol matematic	Cum se citește	În C++	Bibliotecă
√x	„radical din x"	`sqrt(x)`	`<cmath>`
x	„x la pătrat"	`x*x` sau `pow(x,2)`	`<cmath>` pt pow
\|x\|	„modul / valoare absolută"	`fabs(x)`	`<cmath>`
π	„pi" (3.14159...)	`M_PI`	`<cmath>`
Δ (delta)	„discriminant / diferență"	`delta` (variabilă)	—
≈ 0	„aproximativ zero"	`< 0.001` (epsilon)	—
x₁, x₂	„x indice 1, x indice 2"	`x1, x2`	—

Regulă de aur: În C++, indicii se scriu ca cifre lipite de nume (x1, y2), nu ca subscript. Iar „la pătrat" se scrie cel mai simplu ca x*x.

Analogie: GPS și hărți

Gândește-te la Google Maps: Când cauți distanța dintre casa ta și școală, aplicația calculează exact ce vom învăța noi: folosește coordonatele celor două puncte și aplică o formulă de distanță.

La scară mică (un oraș), formula funcționează ca Pitagora pe un plan. Fiecare punct are coordonate (x, y) și distanța e „linia dreaptă" — exact ca o riglă pe hartă.

Formula distanței dintre două puncte

Definiție: Dacă avem A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂), distanța este:

Matematică: d = √((x₂ − x₁) + (y₂ − y₁))

C++: double d = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));

Se citește: „d egal radical din (x2 minus x1) la pătrat plus (y2 minus y1) la pătrat"

Derivă din Teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic format de cele două puncte.

Greșeli frecvente

Uitarea lui sqrt() — fără rădăcină obții distanța la pătrat
pow(x2-x1, 2) vs (x2-x1)*(x2-x1) — ambele corecte, dar varianta cu înmulțire e mai rapidă
Folosirea int în loc de double — coordonatele pot fi zecimale!

Exemplu pas cu pas: A(1,2) B(4,6)

Pas	Operație manuală	Variabilă C++	Valoare
1	Δx = x₂ − x₁ = 4 − 1	`x2-x1`	3
2	Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2	`y2-y1`	4
3	Δx = 3 = 9	`(x2-x1)*(x2-x1)`	9
4	Δy = 4 = 16	`(y2-y1)*(y2-y1)`	16
5	Sumă = 9 + 16 = 25	`9 + 16`	25
6	d = √25 = 5	`sqrt(25)`	5.00

Implementare C++ — Distanța

#include <iostream>
#include <cmath>       // pentru sqrt()
#include <iomanip>     // pentru setprecision()
using namespace std;

int main() {
    double x1, y1, x2, y2;
    cout << "Introdu coordonatele A(x1, y1): ";
    cin >> x1 >> y1;
    cout << "Introdu coordonatele B(x2, y2): ";
    cin >> x2 >> y2;

    // Formula: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
    double d = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));

    cout << fixed << setprecision(2);
    cout << "Distanta AB = " << d;
    return 0;
}

Perimetrul triunghiului

Trei puncte A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) → calculăm laturile:

a = dist(B,C), b = dist(A,C), c = dist(A,B)

double a = sqrt((x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2));

„a este distanța B-C = radical din diferențele la pătrat"

Perimetrul P = a + b + c

double P = a + b + c;

„P egal cu suma celor trei laturi"

Formula lui Heron pentru arie

Formula lui Heron calculează aria doar din lungimile laturilor, fără înălțime!

s = P / 2 (semiperimetrul)

double s = P / 2.0;

„s egal P împărțit la 2" — Atenție: scriem 2.0 nu 2, ca să nu avem împărțire întreagă!

Aria = √(s · (s−a) · (s−b) · (s−c))

double aria = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c));

„aria egal radical din s ori (s minus a) ori (s minus b) ori (s minus c)"

Exemplu complet — A(0,0), B(4,0), C(0,3)

Variabilă	Formulă	C++	Valoare
a (BC)	√((4-0)+(0-3))	`sqrt(16+9)`	5.00
b (AC)	√((0-0)+(3-0))	`sqrt(9)`	3.00
c (AB)	√((4-0)+(0-0))	`sqrt(16)`	4.00
P	5 + 3 + 4	`a + b + c`	12.00
s	12 / 2	`P / 2.0`	6.00
aria	√(6·1·3·2) = √36	`sqrt(613*2)`	6.00

✓ Verificare: triunghi dreptunghic 3-4-5 → Aria = 3·4/2 = 6 ✓

Verificare coliniaritate: Dacă aria ≈ 0, punctele sunt coliniare.

Dacă Aria ≈ 0 → punctele sunt coliniare

if (aria < 0.001) cout << "Coliniare";

„dacă aria este mai mică decât epsilon (0.001), atunci coliniare"

Algoritmul complet (Pseudocod)

Algoritmul complet — de la citire la afișare — în pseudocod (keywords engleză, comentarii română):

// Algoritmul: Distanță, Perimetru, Arie (Heron), Coliniaritate FUNCTION dist(x1, y1, x2, y2): RETURN sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1)) READ x1, y1, x2, y2, x3, y3 // citește coordonatele SET a ← dist(x2,y2,x3,y3) // latura BC SET b ← dist(x1,y1,x3,y3) // latura AC SET c ← dist(x1,y1,x2,y2) // latura AB SET P ← a + b + c // perimetrul SET s ← P / 2.0 // semiperimetrul (2.0 nu 2!) SET aria ← sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) // formula Heron IF aria < 0.001 THEN // aria ≈ 0 → coliniare PRINT "Coliniare" ELSE PRINT P, aria // afișează perimetrul și aria END IF

Programul C++ complet (corespunde pseudocodului)

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

// FUNCTION dist → sqrt(...)
double distanta(double x1, double y1, double x2, double y2) {
    return sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));
}

int main() {
    double x1, y1, x2, y2, x3, y3;

    // READ coordonatele
    cout << "Coordonatele A: "; cin >> x1 >> y1;
    cout << "Coordonatele B: "; cin >> x2 >> y2;
    cout << "Coordonatele C: "; cin >> x3 >> y3;

    // SET a, b, c — laturile
    double a = distanta(x2, y2, x3, y3);  // BC
    double b = distanta(x1, y1, x3, y3);  // AC
    double c = distanta(x1, y1, x2, y2);  // AB

    // SET P, s, aria
    double P = a + b + c;
    double s = P / 2.0;  // IMPORTANT: 2.0 nu 2
    double aria = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c));  // Heron

    cout << fixed << setprecision(2);
    cout << "Latura a (BC) = " << a << endl;
    cout << "Latura b (AC) = " << b << endl;
    cout << "Latura c (AB) = " << c << endl;
    cout << "Perimetrul = " << P << endl;
    cout << "Aria = " << aria << endl;

    // IF aria < 0.001 → coliniare
    if (aria < 0.001) {
        cout << "Punctele sunt coliniare!";
    } else {
        cout << "Triunghi valid.";
    }
    return 0;
}

Rezumat: Matematică → C++

Ce calculăm	Formula matematică	În C++	Cum se citește
Distanța AB	d = √((x₂−x₁)+(y₂−y₁))	`sqrt((x2-x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y2-y1))`	radical din suma pătratelor diferențelor
Perimetrul	P = a + b + c	`P = a + b + c`	P egal suma laturilor
Semiperimetru	s = P / 2	`s = P / 2.0`	s egal P supra 2 (cu `.0`!)
Aria (Heron)	√(s·(s−a)·(s−b)·(s−c))	`sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))`	radical din s ori factorii
Coliniaritate	Aria ≈ 0	`aria < 0.001`	aria mai mică decât epsilon

Atenție: Nu compara aria == 0 cu double. Folosește aria < 0.001 — virgula mobilă are erori de rotunjire.

Întrebări frecvente (FAQ)

Pot folosi pow() în loc de înmulțire manuală?

Da, pow(x2-x1, 2) funcționează. Dar (x2-x1)*(x2-x1) este mai rapid. La examen, ambele sunt acceptate.

Ce se întâmplă dacă coordonatele sunt negative?

Formula funcționează perfect! Diferența se ridică la pătrat → mereu pozitiv. Distanța este mereu ≥ 0.

De ce scriem P / 2.0 și nu P / 2?

Dacă P e int, P/2 face împărțire întreagă (trunchiază): 13/2 = 6. Cu 2.0 forțăm împărțire reală: 13/2.0 = 6.5.

Cum verific dacă laturile formează triunghi valid?

Inegalitatea triunghiului: a+b > c && a+c > b && b+c > a. Echivalent cu aria ≠ 0 din Heron.

PROBLEME PBINFO - 15 minute

PbInfo - Distanta dintre doua puncte

Formula distantei

Enunț:

Cerință: Se citesc coordonatele a doua puncte. Afiseaza distanta dintre ele cu doua zecimale.

Date de intrare:

x1 y1 x2 y2.

Date de ieșire:

Distanta dintre puncte.

Exemplu:

Intrare:

0 0 3 4

Ieșire:

5.00

Explicație: Distanta este sqrt(3^2+4^2)=5.

Cum gândim soluția:

Calculam dx=x2-x1 si dy=y2-y1.
Aplicam sqrt(dx*dx+dy*dy).
Afisam cu doua zecimale.

Tip: Foloseste double si iomanip.

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double x1, y1, x2, y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    double d = sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));
    cout << fixed << setprecision(2) << d;
}

PbInfo - Aria Heron

Triunghi din laturi

Enunț:

Cerință: Se citesc trei laturi. Daca formeaza triunghi, afiseaza aria prin formula lui Heron.

Date de intrare:

a b c.

Date de ieșire:

Aria sau mesajul Imposibil.

Exemplu:

Intrare:

3 4 5

Ieșire:

6.00

Explicație: Semiperimetrul este 6, aria este 6.

Cum gândim soluția:

Verificam inegalitatile triunghiului.
Calculam s=(a+b+c)/2.
Aplicam sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)).

Tip: Nu aplica Heron inainte sa verifici triunghiul.

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

#include < iostream >
#include < iomanip >
#include < cmath >
using namespace std;

int main() {
    double a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    if (a + b <= c||a + c <= b||b + c <= a) {
        cout << "Imposibil";
        return 0;
    }
    double s = (a + b + c) / 2;
    cout << fixed << setprecision(2) << sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
}

PbInfo - Coliniaritate

Arie zero

Enunț:

Cerință: Se citesc trei puncte. Afiseaza DA daca sunt coliniare, altfel NU.

Date de intrare:

Coordonatele celor trei puncte.

Date de ieșire:

DA sau NU.

Exemplu:

Intrare:

0 0 1 1 2 2

Ieșire:

DA

Explicație: Punctele sunt pe aceeasi dreapta.

Cum gândim soluția:

Calculam determinantul.
Daca determinantul este 0, aria este 0.
Afisam DA/NU.

Tip: Pentru coordonate intregi poti compara determinantul exact cu 0.

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long x1, y1, x2, y2, x3, y3;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3;
    long long det = x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2);
    cout << (det == 0?"DA":"NU");
}

EXERCIȚII PRACTICE - 2 sarcini / 20 minute

Exercițiul Practic: Distanța dintre puncte

Aplică formulele geometriei analitice pentru distanțe, perimetre și clasificarea triunghiurilor.

Sarcina 1: Distanța maximă dintre n puncte

Citește n puncte și afișează distanța maximă dintre oricare două.

Pași de rezolvare:

Citește n, apoi coordonatele în vectorii x[100], y[100]
Inițializează maxD = 0
Două for-uri imbricate: i=0..n-1, j=i+1..n-1
Calculează d = sqrt((x[j]-x[i])+(y[j]-y[i]))
Dacă d > maxD → actualizează
Afișează maxD cu 2 zecimale

d = √((x₂−x₁) + (y₂−y₁))

double d = sqrt((x[j]-x[i])*(x[j]-x[i]) + (y[j]-y[i])*(y[j]-y[i]));

„d egal radical din suma pătratelor diferențelor coordonatelor"

READ n FOR i ← 0 TO n-1: READ x[i], y[i] SET maxD ← 0 FOR i ← 0 TO n-2: FOR j ← i+1 TO n-1: // fiecare pereche, fără repetiție SET d ← dist(x[i],y[i],x[j],y[j]) IF d > maxD THEN SET maxD ← d PRINT maxD

De ce funcționează? Parcurgem fiecare pereche de puncte (i, j) fără repetiție (j pornește de la i+1). Pentru fiecare pereche calculăm distanța cu sqrt() și păstrăm doar cea mai mare valoare în maxD.

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main(){
    int n; cin >> n;          // nr. de puncte
    double x[100], y[100];    // coordonatele punctelor
    for(int i=0;i<n;i++) cin >> x[i] >> y[i];
    double maxD = 0;          // distanța maximă găsită
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=i+1;j<n;j++){            // fiecare pereche (i,j)
            double d = sqrt((x[j]-x[i])*(x[j]-x[i])   // formula distanței
                          + (y[j]-y[i])*(y[j]-y[i]));
            if(d > maxD) maxD = d;          // actualizăm maximul
        }
    cout << fixed << setprecision(2) << maxD;  // 2 zecimale
    return 0;
}

Sarcina 2: Clasificare triunghi

Clasifică triunghiul: echilateral, isoscel sau scalen.

Pași de rezolvare:

Calculează a, b, c cu formula distanței
Definește eps = 0.001
Compară cu fabs(a-b) < eps — nu cu ==!
a ≈ b ≈ c → echilateral; 2 egale → isoscel; altfel → scalen

|a − b| < ε → laturi „egale" (comparare reali)

fabs(a - b) < eps

„valoarea absolută a diferenței lui a și b mai mică decât epsilon"

SET a,b,c ← laturile SET eps ← 0.001 IF fabs(a-b) < eps AND fabs(b-c) < eps THEN PRINT "Echilateral" ELSE IF fabs(a-b)<eps OR fabs(b-c)<eps OR fabs(a-c)<eps THEN PRINT "Isoscel" ELSE PRINT "Scalen" END IF

De ce funcționează? Nu comparăm numere reale cu == (erori de precizie!). Folosim fabs(a-b) < eps — dacă diferența e „aproape zero", considerăm laturile egale. Ordinea: verificăm întâi echilateral (3 egale), apoi isoscel (2 egale).

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
    double x1,y1,x2,y2,x3,y3;
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;
    double a=sqrt((x3-x2)*(x3-x2)+(y3-y2)*(y3-y2));  // latura a
    double b=sqrt((x3-x1)*(x3-x1)+(y3-y1)*(y3-y1));  // latura b
    double c=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));  // latura c
    double eps=0.001;            // toleranță pt comparare reali
    // fabs() = valoare absolută pt double
    if(fabs(a-b)<eps && fabs(b-c)<eps)       // toate 3 egale?
        cout<<"Echilateral";
    else if(fabs(a-b)<eps || fabs(b-c)<eps || fabs(a-c)<eps)  // 2 egale?
        cout<<"Isoscel";
    else
        cout<<"Scalen";
    return 0;
}

Ce vei învăța astăzi?

Dicționar: Matematică ↔ C++

Analogie: GPS și hărți

Formula distanței dintre două puncte

Greșeli frecvente

Exemplu pas cu pas: A(1,2) B(4,6)

Perimetrul triunghiului

Formula lui Heron pentru arie

Exemplu complet — A(0,0), B(4,0), C(0,3)

Algoritmul complet (Pseudocod)

Rezumat: Matematică → C++

Verificare cunoștințe

Întrebări frecvente (FAQ)

PbInfo - Distanta dintre doua puncte

Enunț:

Date de intrare:

Date de ieșire:

Exemplu:

Cum gândim soluția:

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

PbInfo - Aria Heron

Enunț:

Date de intrare:

Date de ieșire:

Exemplu:

Cum gândim soluția:

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

PbInfo - Coliniaritate

Enunț:

Date de intrare:

Date de ieșire:

Exemplu:

Cum gândim soluția:

Scrie soluția în C++:

Soluție corectă:

Exercițiul Practic: Distanța dintre puncte

Sarcina 1: Distanța maximă dintre n puncte

Pași de rezolvare:

Sarcina 2: Clasificare triunghi

Pași de rezolvare:

Descarcă toate exercițiile și soluțiile